Probabilités au Démineur : choisir la case la moins risquée

Le point de départ : la densité restante

Sans aucune information locale, la probabilité qu’une case fermée soit une mine vaut mines restantes ÷ cases fermées restantes. Au départ d’une partie expert, c’est 99 ÷ 480, soit 20,6 %. En cours de partie, ce taux évolue : s’il reste 30 mines pour 150 cases fermées, une case isolée a 20 % de risque ; s’il en reste 12 pour 120 cases, seulement 10 %.

Ce taux de base sert d’étalon. Une case de frontière dont le risque estimé dépasse ce taux est un mauvais choix, même si elle paraît « logique » à ouvrir : mieux vaut alors cliquer loin de toute frontière, de préférence dans un coin (voir plus bas).

L’estimation locale : utile mais trompeuse

Le réflexe naturel consiste à lire un seul chiffre : un 1 qui touche quatre cases fermées donne « une chance sur quatre » à chacune, soit 25 % ; un 2 qui touche trois cases donne 67 %. Ce calcul rapide aide à écarter les cases clairement dangereuses, mais il ignore deux choses :

• les chiffres voisins, qui partagent souvent les mêmes cases et rendent certaines répartitions impossibles ;
• le nombre total de mines restantes, qui rend certaines répartitions beaucoup plus probables que d’autres.

Pour obtenir la vraie probabilité, il faut compter les configurations possibles de la frontière, puis les pondérer.

Calcul de probabilité au Démineur : un exemple complet

Le 1 de gauche touche A, B et C ; celui de droite touche B, C et D. Les cases estompées sont déjà ouvertes. Chaque 1 exige exactement une mine dans sa zone.

Étape 1 : lister les configurations valides

Il n’en existe que trois :

1. une mine en B (elle satisfait les deux 1 à la fois), A, C et D libres ;
2. une mine en C, pour la même raison ;
3. une mine en A et une en D, B et C libres.

Toute autre répartition donne 0 ou 2 mines à l’un des deux 1. Si l’on s’arrêtait là, en traitant les trois configurations comme également probables, chaque case aurait une chance sur trois d’être une mine. C’est faux.

Étape 2 : pondérer chaque configuration

Les configurations 1 et 2 utilisent une seule mine ; la configuration 3 en utilise deux. Or les mines non placées sur la frontière doivent se répartir dans les cases fermées que plus aucun chiffre ne touche, l’« intérieur ». Le poids d’une configuration est le nombre de façons de placer les mines restantes dans cet intérieur.

Supposons qu’il reste 10 mines au compteur et 60 cases intérieures, en plus de A, B, C et D :

• configurations 1 et 2 : il reste 9 mines à placer dans 60 cases, soit C(60, 9) façons chacune ;
• configuration 3 : il reste 8 mines dans 60 cases, soit C(60, 8) façons.

Le rapport C(60, 8) ÷ C(60, 9) se simplifie en 9 ÷ 52, soit environ 0,173. En prenant les configurations à une mine comme référence (poids 1), on obtient les poids 1 ; 1 ; 0,173, pour un total de 2,173.

Étape 3 : additionner

Probabilité d’une case intérieure : (1 × 9 + 1 × 9 + 0,173 × 8) ÷ (60 × 2,173) ≈ 14,9 %.

Le résultat est spectaculaire : A et D, qui semblaient valoir une chance sur trois, ne sont minées qu’environ une fois sur douze. Ce sont les meilleurs clics de la grille, nettement plus sûrs qu’une case intérieure. La raison est simple : placer deux mines sur la frontière quand une seule suffit est une hypothèse « coûteuse », qui laisse moins de mines pour l’intérieur et correspond donc à moins de grilles possibles.

Retenez la tendance : quand la densité restante est faible, les configurations qui utilisent le moins de mines dominent. Quand elle est forte, en début de partie expert par exemple, l’écart se réduit, et peut même s’inverser si l’intérieur est presque saturé.

Le vrai 50/50 et comment le reconnaître

Un 50/50 au Démineur est une situation où deux cases jouent exactement le même rôle : chaque chiffre qui touche l’une touche aussi l’autre, et une seule des deux est minée. Le cas typique : deux cases fermées contre le bord, coincées entre des chiffres déjà satisfaits ailleurs, et un 1 qui les voit toutes les deux. Les deux configurations utilisent le même nombre de mines, donc leurs poids sont identiques : c’est réellement une chance sur deux.

Avant de conclure au pile ou face, vérifiez trois points :

• une case voisine encore fermée, si elle était ouverte, pourrait-elle départager les deux candidates ? Si oui, ce n’est pas encore un 50/50 forcé ;
• le compteur de mines laisse-t-il un choix ? En fin de partie, il tranche parfois seul ;
• les deux cases sont-elles vraiment symétriques ? Si l’une des deux configurations utilise plus de mines que l’autre (par exemple parce qu’elle oblige à miner une case supplémentaire ailleurs), les poids diffèrent et ce n’est plus 50/50.

Les formes de 50/50 les plus fréquentes sont illustrées dans notre guide des motifs du Démineur.

À risque égal, choisir la case la plus utile

Deux cases peuvent avoir le même risque sans avoir la même valeur. Le bon clic est celui qui, s’il est sûr, apporte le plus d’informations :

• une case qui débloquera une chaîne de déductions vaut mieux qu’une case dont le chiffre ne servira à rien ;
• une case qui tranche un 50/50 voisin évite une seconde devinette plus tard ;
• une case loin de toute frontière peut déclencher une nouvelle ouverture en cascade, surtout dans un coin.

Pour ce dernier cas, voici la probabilité approchée qu’une case sûre soit vide, et donc qu’elle ouvre une zone :

Calculée comme (1 − densité) puissance le nombre de voisines : 3 pour un coin, 5 pour un bord, 8 au centre.

Le risque d’être une mine est le même partout pour une case isolée, mais un coin a trois fois plus de chances qu’une case centrale de vous offrir une ouverture en expert. C’est pourquoi notre guide de stratégie recommande les coins pour repartir.

Deviner tôt ou tard ?

Une devinette inévitable reste inévitable : la question est seulement de savoir quand la jouer.

• Si vous jouez pour gagner, gardez-la pour la fin. Le reste de la grille, une fois résolu, peut réduire le nombre de mines restantes au point de rendre la décision évidente ou de modifier les poids en votre faveur.
• Si vous jouez pour le chrono, jouez-la tout de suite. Perdre une partie au bout de dix secondes coûte moins cher que la perdre après trois minutes sur le même pile ou face.

En niveau expert, où neuf grilles sur dix exigent au moins une devinette d’après nos simulations, cette décision revient presque à chaque partie.

Pour vous entraîner sans aucune part de chance, essayez le Démineur sans hasard, ou jouez au Démineur en ligne en appliquant ces calculs à vos prochaines devinettes.

Questions fréquentes